2014年广西高考文科数学试题及答案

2014年广西高考文科数学试题及答案

整体文科数学考试难度：（五颗为很难）

2014年广西高考文科数学试题及答案【点击前面下载】

开云平台登陆 预祝广西考生在2015年的高考中取得骄人的成绩，走进理想的校园。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

文科

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则M N中元素的个数为( )

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】B

(2)已知角 的终边经过点（-4,3），则cos =( )

A. B. C. － D. －

【答案】D

(3)不等式组 的解集为( )

A. B. C. D.

【答案】C

（4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.

【答案】B

(5)函数y=ln( )(x>-1)的反函数是( )

A. B.

C. D. .

【答案】D

（6）已知a、b为单位向量，其夹角为60 ，则（2a－b）b =( )

A. －1 B. 0 C. 1 D.2

【答案】B

(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A. 60种 B. 70种 C. 75种 D. 150种

【答案】C

（8）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )

A. 31 B. 32 C. 63 D. 64

【答案】C

(9)已知椭圆C： 的左右焦点为F1,F2离心率为 ，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为 ，则C的方程为( )

A. B. C. D.

【答案】A

（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( )

A. B. 16 C. 9 D.

【答案】A

(11)双曲线C: 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，则C的焦距等于( )

A. 2 B. C.4 D.

【答案】C

(12)奇函数f（x）的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )

A. －2 B.－1 C. 0 D. 1

【答案】D

二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分。

(13)(x-2) 的展开式中 的系数为 .（用数字作答）

【答案】-160

（14）函数 的最大值为 .

【答案】

（15）设x，y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 .

【答案】5

（16）直线l1和l2是圆 的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的交角的正切值

等于 .

【答案】

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.

（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

解：（1）由an+2=2an+1-an+2得an+2- an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列；

（2）由（1）得bn=1+2（n-1），即an+1-an=2n-1.于是

于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n +1+a1.又a1=1，所以{an}的通项公式为an=n2-2n +2.

（18）（本小题满分10分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA= ,求B.

解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,

所以3tanAcosC=2sinC.

因为tanA= ，所以cosC=2sinC.

tanC= .

所以tanB=tan[180 -(A+C)]

=-tan(a+c)

= =-1,

即B=135 .

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90 ，BC=1，AC=CC1=2.

(1)证明：AC1⊥A1B;

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 ，求二面角A1-AB-C的大小.

解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D 平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.

(2) BC⊥平面AA1C1C，BC 平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,

作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A1E= ，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E= ,

作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD= ,得D为AC的中点，DF= ,tan∠A1FD= ,所以二面角A1-AB-C的大小为arctan .

解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.

（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则 (-2，1，0),， ，由 得 ，即 ，于是 ①,所以 .

（2）设平面BCC1B1的法向量 ，则 ， ,即 ，因 ，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a， ，点A到平面BCC1B1的距离为 ，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为 ，所以c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是 ，

设平面ABA1的法向量 ，则 ,即 . 且-2p+q=0，令p= ，则q=2 ，r=1， ，又 为平面ABC的法向量，故cos ，所以二面角A1-AB-C的大小为arccos

20. （本小题满分12分）

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.

解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.

B表示事件：甲需使用设备.

C表示事件：丁需使用设备.

D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.

E表示事件：同一工作日4人需使用设备.

F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.

（1）D=A1BC+A2B+A2 C

P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)= .

所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2 C)= P(A1BC)+P(A2B)+P(A2 C)

= P(A1P)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)p( )p(C)=0.31.

(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.

又E=BCA2,P(E)=P(BCA2)= P(B)P(C)P(A2)=0.06；

若k=4，则P(F)=0.06<0.1.

所以k的最小值为3.

21. （本小题满分12分）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.

解：（1） ， 的判别式△=36（1-a）.

（i）若a≥1，则 ，且 当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.

（ii）由于a≠0，故当a<1时， 有两个根： ，

若0

当x∈（x2，x1）时， ，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；

（2）当a>0，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.

若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当 且 ，解得 .

综上，a的取值范围是 .

22. （本小题满分12分）

已知抛物线C: 的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且 .

(1)求抛物线C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线 与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.

解：（1）设Q（x0，4），代入由 中得x0= ，

所以 ，由题设得 ，解得p=－2（舍去）或p=2.

所以C的方程为 .

（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为 ，（m≠0）代入 中得，

设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，

故AB的中点为D（2m2+1,2m）， ，

有直线 的斜率为－m，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得.

设M(x3,y3),N(x4,y4),则 .

故MN的中点为E（ ）.

由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于 ,从而 ,即 ，化简得

m2-1=0，解得m=1或m=－1，

所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

推荐阅读：

2014年广西高考理科综合试题及答案
2014年广西高考语文试题及答案
2014年广西高考英语试题及答案
2014年广西高考文科综合试题及答案
2014年广西高考理科数学试题及答案