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2014年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 函数的最小正周期是 .
2. 若复数，其中是虚数单位，则 .
3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .
4. 设 若，则的取值范围为 .
5. 若实数满足，则的最小值为 .
6. 若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
7. 已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是 .
8. 设无穷等比数列的公比为，若，则 .
9. 若，则满足的的取值范围是 .
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则 选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）.
11. 已知互异的复数满足，集合，则 .
12. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 .
13. 某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则小白得分的概率至少为
14. 已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和 上的使得，则的取值范围为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 设，则“”是“且”的（ ）
(A) 充分条件.(B) 必要条件.
(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.
16. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
(A) .(B) .
(C) .(D) .
17. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于 和的方程组的解的情况是（ ）
(A) 无论如何，总是无解.(B) 无论如何，总有唯一解.
(C) 存在，使之恰有两解.(D) 存在，使之有无穷多解.
18. 设 若是的最小值，则的取值范围为（ ）
(A) .(B) .(C) .(D) .
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. (本题满分12分)
底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设常数，函数.
(1) 若，求函数的反函数；
(2) 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米. 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和.
(1) 设计中是铅垂方向. 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）
(2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确到米）.
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.
(1) 求证：点被直线分割；
(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；
(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.
23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.
已知数列满足，，.
(1) 若，求的取值范围；
(2) 设是公比为的等比数列，. 若，，求的取值范围；
(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
2014年上海高考理科数学试题
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